Inverzní matice k matici A existuje pouze tehdy, když:
A je čtvercová
A je regulární (viz. minule)
Jordanova metoda:
Matici A rozšíříme o sloupce jednotkové matice J stejného řádu. Tu
upravíme pomocí "povolených" řádkových úprav tak, aby na místě
matice A vznikla jednotková matice J. Povolené řádkové úpravy jsou
takové úpravy, kdy k libovolnému řádku přičítáme lineární
kombinaci ostatních nebo ho násobíme reálným číslěm jiným než 0.
Příklad: Spočítáme inverzní matici k A.
+ +
| 1 0 2 |
A = | 2 1 -1 |
| 1 1 2 |
+ +
Matici rozšíříme a upravujeme:
+ + + +
| 1 0 2 | 1 0 0 | | 1 0 2 | 1 0 0 |
| 2 1 -1 | 0 1 0 | -> | 0 1 -5 | -2 1 0 | ->
| 1 1 2 | 0 0 1 | | 0 1 0 | -1 0 1 |
+ + + +
+ + + +
| 1 0 2 | 1 0 0 | | 1 0 2 | 1 0 0 |
-> | 0 1 0 | -1 0 1 | -> | 0 1 0 | -1 0 1 | ->
| 0 1 -5 | -2 1 0 | | 0 0 -5 | -1 1 -1 |
+ + + +
+ + + +
| 1 0 2 | 1 0 0 | | 1 0 0 | 3/5 2/5 -2/5 |
-> | 0 1 0 | -1 0 1 | -> | 0 1 0 | -1 0 1 |
| 0 0 1 | 1/5 -1/5 1/5 | | 0 0 1 | 1/5 -1/5 1/5 |
+ + + +
+ +
| 3/5 2/5 -2/5 |
Inverzní matice k A je tedy: | -1 0 1 |
| 1/5 -1/5 1/5 |
+ +
O správnosti je možné se přesvědčit jednoduše vynásobením
matice A spočítanou inverzní maticí.
výheň