Co to je Temno?
-=-=-=-=-=-=-=-=-
Temno začíná tam, kde logika končí
Tak Temno (Teorie množin) je to, co se bere v první třídě a také
to je jeden z nejobávanějších přemětů na Matfyzu. Osobně nevím proč,
protože mě se temno moc líbí.
V principu jde o nadefinování všech pojmů v matematice pomocí
množin. Díky tomu potom jde dokázat mnoho dalších věcí, které
z povrchních definicí používaných v jiných disciplínách v matematkyi
nejsou jasné.
Množiny jsou přesně definovány pomocí několika axiomů,
které jsou vždy pravdivé. Jedna z možných axiomatizaci je
Zermelo-Fraenklinova (1920). Ta obsahuje přibližně následující
axiomy:
- Axiom existence (existuje x,x=x) - zaručuje, že se máme o čem
bavit
- Axiom dvojice - pro každé x a y existuje z, kde platí, že z={x,y}.
Jednoduše řečeno, že dvě množiny jde dát dohromady do jedné.
- Axiom sumy - pro každé x existuje y, kde platí, že z je prvkem y,
právě tehdy, když existuje a prvkem x a z je prvkem a. Tedy
že lze spojit prvky prvků některé množiny do jedné. Například
{{a,b},{c,d,e}} do {a,b,c,d,e}
- Axiom potence - pro každou mnotinu existuje množina jejích
podmnožin.
- Schéma axiomu nahrazení. Pokud vezmu nějakou formuli, která
převádí jeden prvek na jiný, můžu pomocí ní nahradit všechny prvky
některé množiny a vytvořit tak množinu novou
- Axiom nekonečna - existuje nekonečná množina
- Axiom fundovanosti - každá množina různá od 0 obsahuje x, kde x
průnik a je prázdná množina
Tyto axiomy velice přesně říkají, co to je množina. Víme z nich,
že existuje minimálně množina 0. Z axiomu dvojice ale víme, že
existuje i množina obsahující 0 - tedy {0} - vezmu za x i y 0 a pak
je z={0,0}. Opakující se prvky se v množině ruší a je to tedy {0}.
Podobně můžu získat množinu obsahující množinu, co obsahuje prázdnou
množinu - {{0}}.
Navíc vím, že libovolné množiny můžu sjednotit pomocí kombinace
axiomu dvojice a axiomu sumy. Mužu tedy sjednotit {0} a {{0}}
a získat {0,{0}}. Podobně můžu získat {0,{0},{0,0}}. A nadefinovat:
Nula je prázdná množina.
1 je {0}
2 je {0,{0}}
3 je {0,{0},{0,{0}}} (tedy zkráceně {0,1,2})
atd...
A mám všechny přirozená čísla. Umím příčítat jedničku - x+1 je
{x} sjednoceno z x. Umím i odčítat - řeknu, že x-1 je takové y, pro
které platí, že y+1=x.
Abych uměl přičítat libovolné y. Musím říct, že:
x+0 = x
x+y = (x+1) + (y-1)
A to stačí, protože, pokud y bude různé od nuly, sníží se
o jedna a postup ze zopakuje. To se bude dít tak dlouho, až y bude
nula.
Podobně můžu nadefinovat odčítání, násobení a dělění, záporná
čísla, zlomky (racionální čísla), reálná čísla a získat tak
klasickou matematiku.
Zajímavé ale je, že Temno umí víc. Podle axiomu nekonečna
existují nekonečné množiny. Jednu z nich jsem už vlastně
nadefinoval. Nekonečným opakováním operace x+1 získám všechny
přirozená čísla. Ty můžu sjednotit do množiny a získám tak množinu
všech přirozených čísel. Ta se značí omega (já ji budu psát jako ).
Tato množina je nekonečná. Zajimavé ale je, že má přesně stejné
vlastnosti, jako přirozená čísla - obsahuje všechny menší čísla.
Můžu se tedy na ní dívat jako na normální číslo a zase opakovat
operaci x+1 a získat tak +1 atd. Mám tedy "větší nekonečno" než
nekonečno?
Jedna z metod jak zjistit, jestli je něčeho víc (například víc
lidí, než židlí) je každého člověka posadit na židli a zjistit,
jestli někdo přebývá. Podobně to můžu zkusit i zde. Zajímavé je,
že pokud budu postupovat hloupě - přiřazovat nulu nule, jedničku
jedničce, vypotřebuju všechny prvky na prvních prvků +1
a na ten poslední se nedostane. Odpověď tedy zní < +1.
Na druhou stranu, pokud budu chytřejší a přiřadím nulu ,
jedničku nule, dvojku jedničce atd, prvky mi nedojdou - pro každé
přirozené x existuje i x+1. A výsledek tedy je = +1.
Odpověď tedy zní "je i není". Proto musím mít dva přístupy
k věci. Ordinální aritmetika počítá, že x=x, právě tehdy, když
existuje přiřazení "hloupým" zpusobem (tedy bez přeházení pořadí
prvků). a +1 jsou potom různá čísla. Kardinální aritmetika zase
používá chytrý zpusob, tedy = +1 = +2 atd..
Máme tu tedy posloupnost ordinálů: 1, 2, 3, ....., +1 ,+2,
.....+ (2*).... na atd...
Zatímco o kardinálech víme, jenom že existuje 1, 2, 3, .....
Múžeme se ptát: "existuje ještě nějaký větší kardinál?". Můžeme
zkoušet různá nekonečna. Například na (to si můžeme představit
jako dvojice přirozených čísel - tedy je jich víc, než racionálních
čísel (zlomků)). Snadno ale zjistíme, že těchto čísel je stejně.
Například můžeme x a y vzít, zapsat v 9 soustavě a potom napsat
zasebou oddělené 9, tedy třeba x=7, y=8 je číslo 798. Získáme tak
přirozené číslo. Tak jsme tedy přiřadili každé dvojici prirozených
čísel jedno přirozené číslo a víme tedy, že dvojic prirozených čísel
je méně (nebo stejně) jako přirozených čísel.
Goedel dokázal, že reálných čísel je víc. Dokonce zjistil, že je
víc čísel mezi 0 a 1. To se dokáže jednoduše. Každé takové číslo lze
zapsat jako desetiný rozvoj - tedy nekonečnou posloupnost 0-9. Pokud
bych každému reálnému číslu přiřadil přirozené, mohl bych je napsad
do tabulky pod sebe:
1 -> 0 9 4 2 3 4 5 6 7 ......
2 -> 1 2 4 5 3 2 6 7 8 ......
3 -> 4 5 2 6 3 4 5 6 7 ......
...........................
A žádné reálné číslo by tam nechybělo. Já ale o jednom takovém vím.
Pokud vezmu čísla z úhlopříčky
1 -> 0 9 4 2 3 4 5 6 7 ......
2 -> 1 2 4 5 3 2 6 7 8 ......
3 -> 4 5 2 6 3 4 5 6 7 ......
...........................
Získém nekonečnou posloupnost cifer. Potom můžu cifry změnit -
například 0 přiřadit 2, 1 přiřadit 3 ... 8 přiřadit 0 a 9 přiřadit
1. Nyní mám číslo, o kterém vím, že se od každého čísla v tabulce
liší alespoň jednou cifrou a proto tam chybí.
Podobným způsobem se dá dokázat, že ka6dá množina všech
podmnožin je větší a proto mám i nekonečně kardinálních nekonečen.
Ty se značí aleph (to je ), aleph1 (to je nekonečno reálných
čísel), aleph2 atd...
Dokonce můžeme dokázat, že ordinálních čísel je víc, než se
vejde do množiny. Protože kdyby existovala množina obsahující
všechny ordinály, byla by také ordinál a proto by musela obsahovat
i sama sebe.
Takže tu máme nekonečně mnoho nekonečen a další zajímavé
věci. Některé z nich vedou k zvláštním výsledkům. Proto si
mnoho matematiků položilo otázku, jestli je to správně a jestli
základní axiomy fungují. Ví se, že axiomy nesmí obsahovat spor
- protože pokud obsahují spor, můžete dokázat cokoliv. Proto se
Cantor pokoušel dokázat jejich bezespornost. Goedl ale dokázal,
že to nejde. Pokud jsou axiomy správně, nidky to nedokážem.
Přístup Goedla k matematice je celkově zajímavý - je velmi
destruktivní, vždy dokázal, že něco nejde. Například, že každá
teorie obsahující matematiku je neúplná. Cantor se velkou část svého
života zabýval otázkou, jestli existuje nekonečno mezi nekonečnem
přirozených a reálných čísel. Goedl potom dokázal že to je jedno.
Nakonec prohlásil, že matematiku nemá smysl axiomatizovat a že lze
na ni pouze nazírat. Každý pátek se potom zavíral v temné místnosti
a nazíral na matematiku.
Našlo se několik dalších problémů. Například lze dokázat, že
buďto existuje nekonečná množina složená z konečně mnoha konečných,
nebo lze kouli rozřezat na konečný počet dílů a složit z nich
dvě koule. Proto matematici uvažují nad tím, jestli vůbec lze
z nekonečnem takto počítat a jestli může nekonečno existovat někde
pohromadě jako množina. Zatím jediný důkaz pro toto tvrzení udělal
Bolzáno:
- Věta 1: existuje pravda o sobě (tedy že existuje pravda - pokud
by pravda neexistovala, věta "pravda neexistuje" by byla pravdivá
a proto by pravda musela existovat. Věta "existuje pravda" je tedy
pravdivá.
- Věta 2: Věta 1 je pravdivá (to je samozřejmě také pravda)
- Věta 3: Věta 2 je pravdivá (to je samozřejmě také pravda)
.....
tím získám nekonečně mnoho vět. Pořád to ale není nekonečno
pohromadě ale nekonečno vzniklé opakováním. Aby Bolzáno získal
nekonečno pohromadě, udělal následující obrat: všechny tyto věty
jsou pravdivé a proto všechny existují v mysly boha, protože bůh zná
všechny pravdy. A proto tedy existuje aktuální nekonečno.
Přeberte si to jak chcete, já už budu končit... Myslím že jsem
toho napsal dost. Víc se dozvíte na Matfyzu.
výheň