Matice
Uspořádané schéma reálných čísel
+ +
|a11, a12, a13, ... ,a1n|
|a21, a22, a23, ... ,a2n|
|a31, a32, a33, ... ,a3n|
|.......................|
|am1, am2, am3, ... ,amn|
+ +
se nazývá matice type m x n
(m a n jsou pevně daná přirozená čísla)
Matice se značí velkými písmeny a v případě potřeby označuje dolní
index jejich typ. Výše uvedená matice se značí třeba Amxn nebo
jen A. Někdy se také značí jako [aij] nebo [aij]mxn.
(pozn. ve Výhni buhužel není možné používat více velikostí
písma. V případě [aij] mají být písmena i,j,m,n menší než
písmeno a. Písmenem x není míněno písmeno ale křížek.
V dalším odstavci není znak "*" krát, ale prostě hvězdička.
Na takovéto zápisy se Výheň bohužel vůbec nehodí, musím říct
ReDoxovi ať s tím něco udělá :)
Vektory z aritmetického lineárního prostoru Vn
a1* = (a11, a12, a13, ..., a1n)
se nazývají řádkové vektory nebo řádky matice A.
Vektory z aritmetického lineárního prostoru Vn
a*1 = (a11, a12, a13, ..., a1n)
se nazývají řádkové vektory nebo řádky matice A.
Prvky a11, a22, a33, ..., amm (nebo ann) se nazývají hlavní
diagonála matice A.
Rovnost matic:
Matice A a B jsou si rovny, když pro všechna i=1,...,m a j=1,...,n
je
aij = bij
např.: + + + +
| 4, 3, 0 | | 4, 3, 0 |
| 0,-9, 2 | = | 0,-9, 2 |
| 8, 0, 4 | | 8, 0, 4 |
+ + + +
Sčítání matic:
Nechť A a B jsou matice typu m x n. Součet matic A+B je matice X,
pro kterou platí:
xij = aij + bij
např.: + + + + + +
| 4, 3, 0 | | 0, 5, 1 | | 4, 8, 1 |
| 0,-9, 2 | + | 3, 4, 0 | = | 3,-5, 2 |
| 8, 0, 4 | | 1, 7,-3 | | 9, 7, 1 |
+ + + + + +
Sčítání je tedy definováno pouze pro matice stejného typu.
Násobení matice reálným číslem:
Nechť A je matice typu m x n, c je reálné číslo. Reálný násobek matice
A je matice, pro kterou platí:
xij = c*aij
např.: + + + +
| 1, 3, 0 | | 4, 12, 0 |
| 0,-9, 2 |*4 = | 0,-36, 8 |
| 0, 0, 4 | | 0, 0, 16 |
+ + + +
Samozřejmě platí c*aij = aij*c, a proto A*c = c*A
Hodnost matice:
Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A
Trojúhelníková matice:
Matice, která má v diagonále nenulové prvky a pod hlavní
diagonálou samé nuly.
např.: + +
| 1, 3, 0 |
| 0,-9, 2 |
| 0, 0, 4 |
+ +
Transponovaná matice:
Vznikne z matice, pokud zaměníme řádky a sloupce. Značí se A'
např.: + + + +
| 1, 0, 2 | | 1, 4,-3 |
A = | 4,-9, 1 | A' = | 0,-9, 4 |
|-3, 4, 0 | | 2, 1, 0 |
+ + + +
Maticová algebra
Čtvercová matice:
Matice typu n x n. (Má stejný počet řádků a sloupců.)
např.: + +
| 1, 0, 2 |
| 4,-9, 1 |
|-3, 4, 0 |
+ +
Jednotková matice:
Čtvercová matice, jejíž prvky v hlavní diagonále jsou rovny
jedné a ostatní prvky nule.
Značí se J, případně Jn, pokud je třeba vyznačit řád.
např.: + +
| 1, 0, 0 |
| 0, 1, 0 |
| 0, 0, 1 |
+ +
Regulární a singulární matice:
Matice je regulární, jestliže je čtvercová a má lineárně nezávislé
řádky.
např.: + +
| 1, 2, 4 |
| 0, 1, 2 |
| 0, 0, 1 |
+ +
Matice je singulární, jestliže je čtvercová a má lineárně závislé
řádky.
např.: + + ale také: + +
| 1, 2, 4 | | 1, 2, 4 |
| 2, 4, 8 | | 2, 4, 8 |
| 0, 0, 1 | | 5,10,20 |
+ + + +
protože:
(5,10,20) = (1,2,4)*3 + (2,4,8)
Součin matic:
Nechť A je matice typu m x n, B je matice typu n x p. Součin
matic A a B je matice typu n x p a pro její prvky platí:
n
\---
\
xij = / aik * bkj
/---
k=1
(ted podivný obrazec z čar má být suma...)
Hodnota na pozici i,j ve výsledné matici AB tedy odpovídá
skalárnímu součinu aritmetických vektorů:
i-tý řádek matice A
j-tý sloupec matice B
např.: + +
+ + | 1 2| + +
| 1 2 1 | | 0 1| | (1,2,1).(1,0,1), (1,2,1).(2.1.3) |
A = | 1 0 1 | * | 1 3| = | (1,0,1).(1,0,1), (1,0,1).(2.1.3) | =
+ + + + + +
+ + + +
| 1*1+2*0+1*1, 1*2+2*1+1*3| | 2 7 |
= | 1*1+0*0+1*1, 1*2+0*1+1*3| = | 2 5 |
+ + + +
Součin matic A a B je tedy definován pouze v případě,
že počet sloupců matice A je roven počtu řádků matice B.
Inverzní matice:
Nechť A je čtvercová matice. Matice X, pro kterou platí
A*X = J,
se nazývá inverzní matice k matici A.
(způsob jejího výpočtu i program, který
ho provádí, bude v příštím čísle Výhně)
Asociativní a distributivní zákon pro maticové operace:
(platí samozřejmě jen tehdy, jestliže jsou operace násobení
a sčítání maticem definovány)
A + (B+C) = (A+B) + C
c*(d*A) = (c*d)*A (c a d jsou reálná čísla)
A*(B*C) = (A*B)*C
(c+d)*A = c*A + d*A
c*(A+B) = c*A + c*B
A*(B+C) = A*B + A*C
(B+C)*A = BA + CA
ale:
A*B se nemusí rovnat B*A
(pokud se náhodou rovnají, pak je to spíše náhoda :)
Lineární transformace:
Nechť C je čtvercová matice řádu n. Zobrazení aritmetického
lineárního prostoru Vn do Vn, definované předpisem
y = Cx,
se nazývá lineární transformace ve Vn. Matice C se nazývá
matice transformace.
Tedy:
y1 = c11*x1 + c12*x2 + ... + c1n*xn
y2 = c21*x1 + c22*x2 + ... + c2n*xn
...................................
yn = cn1*x1 + cn2*x2 + ... + cnn*xn
výheň