Nejdříve řeknu, co to znamená derivace. Vezměte si malý kousíček
nějaké funkce a udělejte podíl rozdílu funkčních hodnot na tomto
úseku a délkou tohoto úseku (v x). No a když ten úsek budete pořád
zmenšovat, tak se ten podíl bude blížit nějakému číslu. A to je
derivace. Pro každý bod funkce může být jiná, takže dostaneme další
funkci. A tu můžeme znova zderivovat a dostaneme druhou derivaci. No
a můžeme to vlastně dělat až do zblbnutí.
Výrazy
2
d y
-----
2
dx
znamenají právě druhé derivace (ty bez těch dvojek jsou první) a to v
tomto případě navíc parciální, což znamená, že funkci několika
proměnných derivujeme podle jedné z nich. (Jestli to stejně
nechápete, což nechápu, tak to nevadí. Prostě vyskočte z tohohle
podčlánku a jenom opište ty výsledné rovnice)
K numerické integraci diferenciální rovnice s derivací podle času (s
počátečními podmínkami) můžeme použít eulerovu metodu. Tato metoda je
založena na tom, že diferenciály (limitně malé rozdíly) nahradíme
diferencemi (rozdíly) přes určité konečně velké úseky a potom se
tváříme, jako kdyby v celém úseku měla funkce konstantní hodnotu a to
tu starší. V praxi to vypadá tak, že derivaci nahradíte výrazem:
dy yn - yo
---- = ---------
dt ⌂t
kde yn je nová hodnota a yo je hodnota stará a ⌂t je velikost
časového kroku. Pro výpočet druhé derivace si musíme pamatovat nejen
hodnotu proměnné, ale i hodnotu její první derivace. V praxi to
vypadá tak, že rovnici:
2
d y
----- = pravá_strana
2
dt
musíme nahradit soustavou:
dv
---- = pravá_strana
dt
dy
---- = v
dt
což následně převedeme na diferenční tvar:
vn - vo
--------- = pravá_strana
⌂t
yn - yo
--------- = v
⌂t
Naproti tomu výpočet druhé derivace podle jiné proměnné, která je
součástí pravé strany je podstatně jednodušší a vypadá následovně:
y - y y - y
dy i+1 i i i-1
2 d ---- ---------- - ---------- y + y - 2y
d y dx ⌂t ⌂t i+1 i-1 i
----- = -------- = ------------------------- = -----------------
2 2
dx dx ⌂t ⌂t
No a to ostatní v téhle rovnici už snad pochopíte. A jestli ne, tak
to opravdu vůbec nevadí, protože to odvození jsem kontroloval a je
správně, takže bude stačit, když si ho opíšete.
výheň