Lineární algebra


   - je součástí  učiva prvních  ročníků  asi všech  matematicky
     i technicky zaměřených vysokých škol, ekonomických vysokých
     škol a zřejmě i některých dalších.

          Za  všechny chyby, neúplné či chybné definice, nejasnosti i
     překlepy  se předem omlouvám. Pokud na nějaký závažný nedostatek
     narazíte,  dejte  mi  prosím  vědět, aby mohl být v dalším čísle
     Výhně napraven.


   Lineární (vektorové) prostory

    Lineární prostoru:

      Množina L libovolných prvků (budeme jim říkat vektory)
      se nazývá lineární prostor, jestliže:

      -jsou na ní definovány operace: -sčítání vektorů
                                      -násobení vektorů

      -sčítání na množině L je: -komutativní:  x+y = y+x
                                -asociativní:  x+(y+z) = (x+y)+z

      -množina L obsahuje nulový vektor o:  x+o = x

      -ke každému vektoru z L existuje opačný vektor -x:  x+(-x) = o

      -pro každý vektor z L platí:  1*x = x

      -násobení vektoru z L reálným číslem je asociativní:  c*(d*x) = (c*d)*x

      -platí zákon distributívní:  (c+d)*x = c*x + d*x   (c,d jsou prvky R)
                                   c*(x+y) = c*x + c*y


    Aritmetický lineární prostor:

      Množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel, na které jsou
      definovány operace sčítání a násobení reálným číslem vztahy

        x+y = (x1+y1, x2+y2,..., xn+yn), c*x = (c*x1, c*x2,..., c*xn)

      se nazývá aritmetický lineární prostor. Jeho prvky se nazývají
      aritmetické vektory.

      (Aritmetické vektory jsou tedy uspořádané n-tice reálných čísel.
       Čísla x1, x2,..., xn) v aritmetickém vektoru x = (x1, x2,..., xn)
       se nazývají souřadnice (složky) vektoru x.
       Nulový vektor je o = (0,0,...,0)
       Opačný vektor k (x1, x2,..., xn) je vektor (-x1, -x2,..., -xn)


    Podprostor lineárního prosotru:

      Množina Lo se nazývá podprostor lineárního prostoru L, jestliže:
        -množina Lo je neprázdná podmnožina L
        -množina Lo je uzavřená vůči sčítání
        -množina Lo je uzavřená vůči násobení reálným číslem


    Určující skupina lineárního prostoru:

      Nechť x1,..., xn jsou vektory z lineárního prostoru L.
      Jestliže každý vektor x z L se dá vyjádřit ve tvaru lineární
      kombinace vektorů x1,..., xn, nazýváme x1,...,xn určující
      skupinou lineárního prostoru L, nebo říkáme, že lineární
      prostor L je těmito vektory generován.


    Lineární závislost a nezávislost vektorů:

      Nechť x1,..., xn jsou vektory z lineárního prostoru L.
      Vektory x1,..., xn se nazývají lineárně závislé, jestliže
      existují reálná čísla c1,..., cn , z nichž je alespoň jedno
      různé od nuly, taková, že platí:

        x1*c1 + x2*c2 + .... + xn*cn = o

      V opačném případě se nazývají lineárně nezávislé.

     nebo:

      Nechť x1,..., xn jsou vektory z lineárního prostoru L.
      Vektory x1,..., xn se nazývají lineárně závislé tehdy a jen tehdy,
      když alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních.


    Báze lineárního prostoru:

      Určující skupina x1,..., xn lineárního prostoru L, jejiž vektory
      jsou lineárně nezávislé, se nazývá báze prostoru L.

      pozn.: skoro vždy tedy existuje velké množství různých bází.


    Hodnost lineárního prostoru:

      Počet vektorů v libovolné bázi lineárního prostoru L se nazývá
      hodnost lineárního prostoru L.


    Lineární prostory se skalárním součinem

      V lineárním prostoru L může být definován tzv. skalární součin
      vektorů (budeme ho značit xy)

      Zobrazení L x L do R, které každé uspořádané dvojici (x,y) z L x L
      přiřazuje reálné číslo xy, se nazývá skalární součin vektorů x a y,
      jestliže:

          x*x >= 0  (přičemž x*x=0 <=> x=o)
          xy = yx
          (x+y)*z = x*z + y*z
          c*(x*y) = (c*x)*y

      Lineární prostor s tímto zobrazením se nazývá lineární prostor
      se skalárním součinem.


            výheň